Broj neke vrste bakterija kontinuirano se povećava tako da ih je nakon svakih 9 sati dvostruko više. Ako je u uzorku u 6 sati ujutro bilo 720 bakteija, koliko će ih biti u 16 sati istog dana?
| A. | \(1295\) | B. | \(1500\) | C. | \(1555\) | D. | \(2465\) |
Napomena: prvi i drugi razred.
\[\color{red}{ -- \spadesuit --} \]
\(\textbf{Rješenje: } \)Formula po kojoj trebamo raditi naziva se formula složenog kamatnog računa, primjenjuje se u gospodarskoj matematici i glasi
\[ C_n=C_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n \]
Ovdje su redom:
\(C_0 \) - osnovni(početni) iznos,
\( n \) - broj perida uvećanja,
\(C_n \) - iznos nakon isteka n perioda,
p% - postotak uvećanja
Izraz \( 1+\frac{p}{100} \) se naziva kamatni faktor i obično označava s \( r \)
Formula složenog kamatnoga računa s tom oznakom ima oblik
\[ C_n=C_0\cdot r^n \]
Primjetite da se radi o exponencijalnoj funkciji. Ako se nakon n perida početni iznos udupla tada vrijedi
\[ 2C_0=C_0\cdot r^n/:C_0 \]
imamo vrijednost kamatnog faktora u obliku
\[ r=\sqrt[n]{2} \]
U 6 sati ujutro bilo je \( C_0=720 \) bakterija. Nakon \( n=9 \) broj bakterija se udupla te je kamatni faktor za tako date podatke \[ r=\sqrt[9]{2}=1.08005973889 \]
Imamo sada početni iznos \( C_0 \) i kamatni faktor \( r \), trebamo odrediti broj sati uvećanja \( n \). \( n=16-6=10\;sati. \) Računamo broj bakterija 10 sati nakon prebrojavanja.\[ C_{10}=C_0\cdot r^{10} \] odnosno \[ C_{10}=720\cdot 1.08005973889^{10} \]\[ C_{0}=1555.28602 \] Odbacivanjem decimala, jer uzimamo samo gotove bakterije, daje rješenje \( C_{10}=1555. \: \color{red}{\heartsuit} \)
\(\textbf{Rješenje je: C}\)
