Riješite zadatke:

\(\textbf{25.1.}\)  Napišite neku kvadratnu jednadžbu čija su rješenja različita i jedno je pet puta veće od drugoga.

\(\textbf{25.2.}\)  Zadan je broj \( m=10^{k+2} \). Koliki je broj k ako je \( m=1000 \)?
Napomena: prvi i drugi razred.

\(\textbf{Rješenje:  }\)
\(\textbf{25.1}\) Kvadratna jednadžba kojoj su rješenja \( x_1\:\:i\:\:x_2 \) se može zapisati kao\[ ax^2+bx+c=a\left(x-x_1 \right)\left(x-x_2 \right)=0 \]
(faktorizacija kvadratnog trinoma). Neka je \(x_2\) pet puta veći od \(x_1\) tada za je \( x_1=1 \) vrijedi \( x_2=5 \) i uvrštenje daje
\[ a\left(x-1 \right)\left(x-5 \right)=0 \] što nakon sređivanja ima oblik\[ a\left(x^2-6x+5 \right)=0 \]
Za različite \( a \) imamo različite kvadratne jednadžbe ali sve one imaju rješenja 1 i 5. Za \( a=1 \) to je jednadžba\[ x^2-6x+5=0 \]

Može se dobiti i općenitiji rezultat uzimajući \( x_1=k \) i \( x_2=5k \).
Rješenje: \( x^2-6x+5=0\: \color{red}{\heartsuit}\)

\(\textbf{25.2}\) Za \( m=1000=10^3 \) imamo jednostavnu eksponencijalnu jednažbu\[ 10^3=10^{k+2} \] iz koje je \( k+2=3 \), odnosno \( k=1 \)
Rješenje: \(k=1\: \color{red}{\heartsuit}\)