\(\textbf{b)}\:\:\)Odredi jednadžbu simetrale dužene \(\overline{AB}\) ako je \(A(-1,3)\) i \(B(5,5)\).

\(\textbf{Rješenje:}\quad\)Pojmovi:

• Simetrala dužine je okomica na dužinu( na pravac koji je sadrži) kroz njeno polovište,
• formula koordinata polovišta navedena je na grafici,
• uvjet okomitosti \((p_1\perp p_2)\Rightarrow a_{p_2}=-\frac{1}{a_{p_1}}\).

Računamo koordinate polovišta, vrijedi

\[x_P=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-1+5}{2}=2;\quad y_P=\frac{y_A+x_B}{2}=\frac{3+5}{2}=4;\]

Dakle, polovišna točka je \(P(2,4)\). Pravac \(p_1\) kroz točke \(A\:i\:B\) ima jednadžu

\begin{gather*}y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)\\y-5=\frac{5-3}{5+1}(x+1)\\y=\frac 13(x+1)+5\\y=\frac 13 x+\frac{16}{3}\end{gather*}

Koeficijent pravca \(p_1\cdots y=\frac 13 x+\frac{16}{3}\) je \(a_{p_1}=\frac13\). Zbog okomitosti je koeficijent smjera simetrale \(s\) dat s

\[a_s=-\frac{1}{a_{p_1}}=-\frac{1}{\frac{1}{3}}=-3.\]

Simetrala prolazi i točkom \(P\) (ona je njihova zajednička točka), te je jednadžba simetrale

\begin{gather*}y-y_P=a_s(x-x_P)\\y-4=-3(x-2)\\y=-3x+6+4\\y=-3x+10\end{gather*}

Konačno, jednadžba simetrale dužina \(\overline{AB}\) je

\[s\cdots y=-3x+10\].