Pojam apsolutne vrijednosti realnog broja
- Ako je od mjesta \(A\) do mjesta \(B\) daleko \(5\:km\), tada je i od mjesta \(B\) do mjesta \(A\), također, daleko \(5\:km\) (nema smisla reći da je druga udaljenost \(-5\:km\)). Uzimamo da je udaljenost uvijek pozitivan broj.
- Na isti način su : masa, površina i još mnoge druge veličine samo pozitivni brojevi ili nula.
- Mjesto \(A\) je od mjesta \(A\) udaljeno za nula jedinica. Dakle udaljenost može biti samo pozitivna ili nula (kažemo ne negativna). S \(d(A,B)\) označavamo udaljenost točaka \(A\) i \(B\) i pišemo \(d(A,B) \geq 0\).
Neka je \(x\) bilo koji realan broj, tada se \(\textbf{apsolutna vrijednost}\), odnosno \(\left\vert x\right\vert\), definira ovako:
\(\text{Definicija 1.}\)
\[\begin{equation}\left\vert x\right\vert =\left\{\begin{array}{rc}x & \text{za \(\ x\geq 0\),}\left( x\in R_{0}^{+}\right) , \\ & \\ -x & \text{za \(\ x<0\),}\left( x\in R^{-}\right) .\end{array}\right.\label{avrijed}\end{equation}\]
- Uočiti da za svaki \(x\in R\) vrijedi: \(\left\vert x\right\vert \geq 0\) (nenegativnost apsolutne vrijednosti) i \(\left\vert x\right\vert =\left\vert-x\right\vert .\)
\(\text{Primjer 1.}\) Prema definiciji 1 je:
\[\vert 5\vert=5,\vert -5\vert=-(-5)=5 \Rightarrow \vert 5\vert=\vert -5\vert\]
\(\textbf{Drugi korijen}\) iz pozitivnog realnog broja je pozitivan realni broj. Tu činenicu zapisujemo u obliku
\[\begin{equation}\sqrt{a^2}=\vert a\vert\end{equation}\]
\(\textbf{Primjer:}\:\) Za \(a=5\) je \[\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=\vert 5\vert=5,\]
za \(a=-5\) vrijedi \[\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=\vert -5\vert=5,\]
Svojstva apsolutne vrijesnosti realno broja
\(\textbf{Teorem 1.}\) Neka su \(a~i\ b\) bilo koja dva realna broja. Vrijede tvrdnje:
\(\mathbf{(a)}\) \(\left\vert a\right\vert =\left\vert -a\right\vert, \)
\(\mathbf{(b)}\) \(\left\vert a+b\right\vert \le \left\vert a\right\vert + \left\vert b\right\vert, \)
\(\mathbf{(c)}\) \(\left\vert a\cdot b\right\vert=\left\vert a\right\vert \cdot \left\vert b\right\vert i \)
\(\mathbf{(d)}\) \(\left\vert \dfrac{a}{b}\right\vert=\dfrac{\left\vert a\right\vert}{\left\vert b\right\vert}, b\ne0. \)
