Riješite zadatke:
\(\textbf{28.1.}\) U kvadrat čija je duljina stranice 10 cm upisan je četverokut kao što je prikazano na skici. Kolika je površina toga upisanog četverokuta?
\(\textbf{28.2.}\) Točka \(T(x,-3)\) u trećemu kvadrantu jednako je udaljena od ishodišta kao i točka \(P(7, 0)\). Koliko je x?
\(\textbf{28.3.}\) Park prikazan na skici ima oblik pravokutnoga trokuta površine 4200 m2. Matija šeće uz rub parka od točke A preko točke B do točke C i prijeđe 190 m. Koliko bi metara prešao da je od točke A do točke C išao najkraćim putom?
Napomena: drugi i ćetvrti razred.
\(\textbf{Rješenje: }\)
\(\textbf{28.1}\) Stranice upisanog četverokuta su hipotenuze pravokutnih trokuta kojima se vrhovi naspram hipotenuza podudaraju s vrhovima kvadrata. Za neke od tih trokuta su date jedna ili obe katete ali se ostale daju jednostavno isčitati. Površina osjenčenog četverokuta jednaka je razlici površina kvadrata i zbroja površina četiri opisana pravokutna trokuta. Idemo računati:
\[ \text{Površina kvadrata je: }P_\square=10^2\:cm^2=100\:cm^2 \]
Površine pravokutnih trokuta računam od lijevog gornjeg vrha kvadrata i redom su:
\[ P_{\vartriangle1}=\frac{7\cdot 4}{2}=14\:cm^2 \]
\[ P_{\vartriangle2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15\:cm^2 \]
\[ P_{\vartriangle3}=\frac{3\cdot 7}{2}=\frac{21}2\:cm^2 \]
\[ P_{\vartriangle4}=\frac{3\cdot 5}{2}=\frac{15}2\:cm^2 \]
\[ P=P_\square-\left(P_{\vartriangle1}+P_{\vartriangle2}+P_{\vartriangle3}+P_{\vartriangle4} \right) \]
\[ P=100\:cm^2-47\:cm^2=53\:cm^2 \]
Rješenje: Površina četverokuta je: \( P=53\:cm^2.\: \color{red}{\heartsuit}\)
\(\textbf{28.2}\) Sve točke koje su jednako udaljene od ishodišta kao i točka \( P(7,0) \) leže na središnjoj kružnici polumjera \( 7 \). Jednadžba te kružnice je\[ x^2+y^2=7^2 \]
Mi trebamo točku s ordinatom \( y=-3 \). Uvrštenje u jednadžbu kružnice daje
\begin{gather*} x^2+(-3^2)=49 \\x^2=40\diagup^\sqrt {} \\
x_{1,2}=\pm 2\sqrt{10} \end{gather*}
Točka je u trećem kvadrantu za \( x=-2\sqrt{10} \)
Rješenje: \( x=-2\sqrt{10}\: \color{red}{\heartsuit}\)
\(\textbf{28.3}\) Park je pravokutni trokut i njegova površina je polovina umnoška kateta \( P=\frac{a\cdot b}{2}=4200 \). Dulja šetnja je ona katetama i jednaka je zbroju duljina kateta, odnosno vrijedi \( a+b=190 \). Kraća šetnja je šetnja hipotenuzom i za odrediti nju trebao katete. Već imamo dvije jednadžbe koje ih povezuju. Riješimo sustav:
\begin{equation*}
\begin{cases}
a+b=190\Rightarrow b=190-a\\ \frac{a\cdot b}{2}=4200\Rightarrow ab=8400
\end{cases} \end{equation*}
\[ a\left(190-a\right)=8400 \]
Ovo je kvadratna jednadžba \[ a^2-190a+8400=0 \]
s rješenjima \[ a_{1,2}=\frac{190\pm 50}{2} \]
odnosno \( a_1=70 \) i \( a_2=120 \) i prema zamjeni su odgovarajući \( b_1=120 \) i \( b_2=70 \). Premda je svejedno , na slici se vidi da je kateta a dulja, pa ću ja uzeti par \( a=120 \) i \( b=70 \). Za hipotenuzu vrijedi
\[ c=\sqrt{120^2+70^2}=138,92444 \]
Rješenje: \(138,92\:m.\quad\color{red}{\heartsuit}\)
