Neka je dat sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
  \begin{equation*} (*) \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\end{equation*}

U članku rješenja "Formule rješenja sustava linearnih jednadžbi" primjenom metode suprotnih koeficijenata za rješenja jednadžbe smo dobili

\begin{equation*}  \color{green}{x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}};\qquad \color{green}{ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}}\end{equation*}

Može se uočiti da su izrazi u brojnicima i nazivnicima ovih rješenja mogu zapisati kao determinante, ito 

 \begin{equation*}  \color{green}{x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}}=\frac{\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}}\end{equation*}

\begin{equation*} \color{green}{ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}}=\frac{\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}}\end{equation*}
Ova rješenja postoje pod uvjetom da je nazivnik različit od nule(ne znamo dijeliti s nulom), odnosno da vrijedi \(a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1\neq0\).

Determinantu u nazivniku za rješenja sustava (*) na zivamo determinanta sustava (*) i označavamo s \(D\). Njeni prvi stupc čine koeficijenti uz nepoznanicu \(x\) u prvoj i drugoj jednadžbi sustava, a drugi stupac odgovarajući koeficijenti uz nepoznanici \(y\) sustava (*). Vrijedi

\begin{equation*}D=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1\end{equation*}

Determinantu u brojniku za nepoznanicu \(x\) sustava (*) nazivamo determinanta nepoznanice \(x\) i označavamo s \(D_x\). Dobije se iz determinante \(D\) sustava tako da stupac nepoznanice \(x\) zamjenimo stupcem slobodnih članova s desne strane sustava (*) a drugi stupac ne diramo. Vrijedi

\begin{equation*}D_x=\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}=c_1\cdot b_2-c_2\cdot b_1\end{equation*}

Determinantu u brojniku za nepoznanicu \(y\) sustava (*) nazivamo determinanta nepoznanice \(y\) i označavamo s \(D_y\). Dobije se iz determinante \(D\) sustava tako da stupac nepoznanice \(y\) zamjenimo stupcem slobodnih članova s desne strane sustava (*) a prvi stupac ne diramo. Vrijedi

\begin{equation*}D_y=\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}=a_1\cdot c_2-a_2\cdot c_1\end{equation*}

Ovako smo dokazali tvrdnju

\(\textbf{Tvrdnja:  }\)Linearni sustav

 \begin{equation*} (*) \begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\end{equation*}

ima jedinstveno rješenje ako i samo ako je determinanta sustava različita od nule:

\begin{equation*}D=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1\neq 0.\end{equation*}

Tada je rješenje sustava određeno s:

\begin{equation*}  x=\frac{\begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}}=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}\end{equation*}

\begin{equation*}y==\frac{\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}}\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}\end{equation*}

Ili kraće: linearni sustav (*) ima točno jedno rješenje ako i samo ako je determinanta sustava \(D\neq 0\). Rješenje sustava tada je

\begin{gather*}x=\frac{D_x}{D}\\ y=\frac{D_y}{D}\end{gather*}