Riješite zadatke:

\(\textbf{19.1.}\)  Odredite n za koje vrijedi \( 3\cdot\binom{n-1}{n-4}=22\cdot\binom{n-2}{2}\).

\(\textbf{19.2.}\)  Napišite neku kvadratnu jdnadžbu čija su rješenja različita i jedno je pet puta veće od drugoga.

Napomena: ćetvrti i drugi razred.

\(\textbf{Rješenje: } \)
\(\textbf{  a) }\) Vrijednost binomnih koeficijenta računamao prema formuli
\[\binom nk=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-(k-1))}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot k},\]
Odnosno u brojniku je onoliko faktora koliko u nazivniku ali od n premam manje. Na primjer:
\[\binom 94=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot 4}=126.\]
Oni maju svojstvo koje nazivao simetričnost binomnih koeficijenata, odnosno vrijedi
\[\binom{n}{n-k}=\binom nk.\]
Prema zadnjem svojstvu imamo da je
\[\binom{n-1}{n-4}=\binom{n-1}{n-1-(n-4)}=\binom{n-1}{3}.\]
Sada možemo raditi zadatak

\[3\cdot\binom{n-1}{n-4}=22\cdot\binom{n-2}{2}\]
zamjena zbog simetričnosti daje
\[3\cdot\binom{n-1}{3}=22\cdot\binom{n-2}{2}\] i nakon množenja obe strane jednakosti i kraćenja
\[3\cdot\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3}=22\cdot\frac{(n-2)(n-3)}{1\cdot 2}/\cdot\frac{2}{(n-1)(n-3)}\]
imamo konačnih
\[n-1=22\] odnosno \[n=23\]
\(\textbf{Rješenje je:  n=23}. \\\)}

\(\textbf{  b) }\) Za svaka dva proizvoljno odabrana realna broja \( x_1 \) i \( x_2 \) postoji kvadratna jednadžba za koju su ta dva unaprijed odabrana broja rješenja. Vrijedi
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=0 \]
za svaki realni broj \(a\neq 0\).
Ako uzmemo da je \( x_2=5x_1 \) jednadžba bi imala oblik
\[a(x-x_1)(x-5x_1)=0\]
i nakon množenja je
\[a(x^2-6x_1x+5x_1^2)=0\]
Za različite vrijdenosti kvadratnog koeficijenta \( a \) i odabrano \( x_1 \) dobivamo kvadratne jednadžbe za koje je jedno rješenje pet puta veće od drugog. Na primjer, najjednoatavnije je uzeti za \( a=1 \) i \( x_1=1 \)(tada je \( x_2=5 \)) jednadžba ima obolik
\[1\cdot(x^2-6\cdot x+5)=0\]
\[x^2-6x+5=0\]
\(\textbf{Rješenje je: }\) \( x^2-6x+5=0. \)